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Demostraciones con encanto

Un viaje por las matemáticas elegantes

En las demostraciones bellas hay mucho de inesperado, inevitable y económico..

Esta obra presenta una colección de demostraciones notables en matemáticas elementales, sobre números, geometría, desigualdades, funciones, origami, teselaciones, de una elegancia excepcional, sucintas e ingeniosas.  
A través de razonamientos sorprendentes o de potentes representaciones visuales, esperamos que esta selección de demostraciones invite a los lectores a disfrutar de la belleza de las matemáticas.
Además, cada capítulo concluye con desafíos al lector —se plantean alrededor de ciento treinta—, a quien animamos a que busque por sí mismo demostraciones con encanto y a compartir sus descubrimientos con otros.
 

ISBN: 
9788413187792
Fecha publicación: 
18/03/2021
Encuadernación:
Núm. páginas: 
292
Código interno:
201849
  • Ver índice
    Índice: 

    Prólogo....................................................................11
    Introducción........................................................... 15
    Capítulo 1. Un jardín de enteros.................................................................... 21
    1.1. Números figurados.................................................................21
    1.2. Sumas de cuadrados, cubos y números triangulares............................................................ 26
    1.3. Hay infinitos primos.................................................................... 29
    1.4. Números de Fibonacci................................................................ 32
    1.5. El teorema de Fermat.................................................................... 35
    1.6. El teorema de Wilson.................................................................... 35
    1.7. Números perfectos................................................................. 36
    1.8. Desafíos.................................................................  37
    Capítulo 2. Números ilustres.................................................................... 39
    2.1. La irracionalidad de 2............................................................................. 40
    2.2. La irracionalidad de k cuando k no es un cuadrado perfecto.................................................. 41
    2.3. La razón áurea...................................................................... 42
    2.4. La circunferencia y π............................................................................. 45
    2.5. La irracionalidad de π............................................................................. 47
    2.6. El conde de Buffon y su aguja...................................................................... 48
    2.7. El número e como límite..................................................................... 49
    2.8. Una serie infinita para e............................................................................ 52
    2.9. La irracionalidad de e............................................................................ 52
    2.10. El problema de Steiner sobre el número e............................................................................ 53
    2.11. La constante de Euler-Mascheroni........................................................... 53
    2.12. Exponentes racionales e irracionales........................................................... 55
    2.13. Desafíos................................................................ 56
    Capítulo 3. Puntos en el plano..................................................................... 59
    3.1. La fórmula de Pick....................................................................... 59
    3.2. Circunferencias y sumas de dos cuadrados.............................................................. 61
    3.3. El teorema de Sylvester-Gallai.................................................................... 63
    3.4. Partiendo en dos un conjunto de cien mil puntos................................................................... 64
    3.5. Palomas y palomares............................................................. 65
    3.6. Asignando números a los puntos del plano..................................................................... 66
    3.7. Desafíos......................................................... 68
    Capítulo 4. El patio de recreo de los polígonos.............................................................. 69
    4.1. Combinatoria poligonal............................................................... 69
    4. 2. Dibujar un polígono conocidas las longitudes de sus lados................................................................ 72
    4.3. Los teoremas de Maekawa y Kawasaki............................................................... 73
    4.4. Cuadratura de polígonos............................................................... 75
    4.5. Las estrellas del patio de los polígonos............................................................... 76
    4.6. Los vigilantes de la galería de arte......................................................................... 78
    4.7. Triangulaciones de polígonos convexos................................................................ 80
    4.8. Cicloides, ciclógonos y cicloides poligonales............................................................. 83
    4.9. Desafíos.................................................................. 85
    Capítulo 5. Un tesoro de teoremas sobre triángulos................................................................ 87
    5.1. El teorema de Pitágoras................................................................. 87
    5.2. Parentescos pitagóricos.............................................................. 88
    5.3. El radio de la circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo ............................................... 91
    5.4. La generalización de Pappus del teorema de Pitágoras................................................................. 92
    5.5. La circunferencia inscrita y la fórmula de Herón...................................................................... 93
    5.6. La circunferencia circunscrita y la desigualdad triangular de Euler ................................................. 95
    5.7. El triángulo órtico...................................................................... 96
    5.8. La desigualdad de Erdős-Mordell................................................................... 97
    5.9. El teorema de Steiner-Lehmus................................................................... 99
    5.10. Las medianas de un triángulo............................................................... 100
    5.11. ¿Son obtusángulos la mayoría de los triángulos?............................................................ 102
    5.12. Desafíos................................................................ 103
    Capítulo 6. El embrujo del triángulo equilátero.............................................................. 105
    6.1. Teoremas de estilo pitagórico.............................................................. 105
    6.2. El punto de Fermat de un triángulo............................................................... 108
    6.3. El teorema de Viviani.................................................................. 109
    6.4. Una teselación triangular del plano y la desigualdad de Weitzenböck................................ 110
    6.5. El teorema de Napoleón.............................................................. 112
    6.6. El milagro de Morley.................................................................. 113
    6.7. El teorema de Van Schooten............................................................... 115
    6.8. El triángulo equilátero y la razón áurea..................................................................... 116
    6.9. Desafíos......................................................... 117
    Capítulo 7. El rincón de los cuadriláteros......................................................... 119
    7.1. Puntos medios en cuadriláteros......................................................... 119
    7. 2. Cuadriláteros cíclicos................................................................. 121
    7.3. Igualdades y desigualdades en un cuadrilátero.......................................................... 123
    7.4. Cuadriláteros tangenciales y bicéntricos............................................................ 126
    7.5. Los teoremas de Anne y Newton................................................................. 127
    7.6. Pitágoras con un paralelogramo y triángulos equiláteros ........................................................... 129
    7.7. Desafíos........................................................ 130
    Capítulo 8. Cuadrados por todas partes.................................................................... 133
    8.1. Teoremas con un cuadrado............................................................... 133
    8.2. Teoremas con dos cuadrados.............................................................. 135
    8.3. Teoremas con tres cuadrados.............................................................. 140
    8.4. Con cuatro y más cuadrados.............................................................. 142
    8.5. Cuadrados y matemáticas recreativas............................................................ 144
    8.6. Desafíos......................................................... 146
    Capítulo 9. Curvas a la vista .............................................................................  149 Cuadraturas de lúnulas ............................................................................. 149
    9.2. La asombrosa espiral de Arquímedes ............................................................................ 155
    9.3. La cuadratriz de Hipias................................................................. 157
    9.4. El cuchillo de zapatero y la bodega de sal....................................................................... 158
    9.5. Las cónicas según Quetelet y Dandelin ............................................................................ 160
    9.6. Triángulos de Arquímedes.........................................................161
    9.7. Hélices............................................................... 164
    9.8. Desafíos.............................................................. 165
    Capítulo 10. Aventuras con embaldosados y coloreados........................................................... 169
    10.1. Embaldosados y teselaciones del plano................................................................... 170
    10.2. Embaldosados con triángulos y cuadriláteros....................................................... 174
    10.3. Infinitas demostraciones del teorema de Pitágoras............................................................. 177
    10.4. La rana saltarina............................................................... 179
    10.5. Los siete frisos.................................................................... 181
    10.6. Demostraciones coloridas ....................................................................................... 184
    10.7. El dodecaedro y los caminos hamiltonianos.......................................................... 192
    10.8. Desafíos..................................................................................................................... 194
    Capítulo 11. Geometría en tres dimensiones...................................................... 197
    11.1. El teorema de Pitágoras en tres dimensiones....................................................... 198
    11.2. Particiones del espacio con planos........................................................................ 199
    11.3. Triángulos correspondientes en tres rectas.......................................................... 201
    11.4. Un cono que triseca ángulos ................................................................................. 201
    11.5. La intersección de tres superficies esféricas......................................................... 202
    11.6. La cuarta circunferencia......................................................................................... 204
    11.7. El área del triángulo esférico................................................................................. 205
    11.8. La fórmula de Euler para poliedros....................................................................... 206
    11.9. Caras y vértices de poliedros convexos................................................................. 207
    11.10. ¿Por qué se repiten las formas de algunas caras de los poliedros?..................... 209
    11.11. Euler y Descartes à la Pólya................................................................................... 210
    11.12. Cuadriculando cuadrados y cubiculando cubos................................................... 211
    11.13. Desafíos................................................................................................................... 213
    Capítulo 12. El patio de recreo de los polígonos................................................ 215
    12.1. Conjuntos numerables y no numerables.............................................................. 215
    12.2. El teorema de Cantor-Schröder-Bernstein............................................................ 217
    12.3. La desigualdad de Cauchy-Schwarz...................................................................... 218
    12.4. La desigualdad entre la media aritmética y la media geométrica....................... 220
    12.5. Dos perlas del origami............................................................................................ 221
    12.6. ¿Cómo dibujar una línea recta?.............................................................................. 223
    12.7. Algunas joyas de las ecuaciones funcionales....................................................... 225
    12.8. Desigualdades funcionales.................................................................................... 230
    12.9. La serie de Euler para π2/6..................................................................................... 233
    12.10. El producto de Wallis.............................................................................................. 235
    12.11. La aproximación de Stirling para n!...................................................................... 236
    12.12. Desafíos................................................................................................................... 238
    Soluciones a los desafíos........................................................................................... 241
    Capítulo 1........................................................................................................................... 241
    Capítulo 2........................................................................................................................... 243
    Capítulo 3........................................................................................................................... 247
    Capítulo 4........................................................................................................................... 249
    Capítulo 5........................................................................................................................... 251
    Capítulo 6........................................................................................................................... 255
    Capítulo 7........................................................................................................................... 258
    Capítulo 8........................................................................................................................... 261
    Capítulo 9........................................................................................................................... 262
    Capítulo 10......................................................................................................................... 265
    Capítulo 11.......................................................................................................................... 269
    Capítulo 12......................................................................................................................... 270
    Referencias bibliográficas......................................................................................... 273
    Índice por palabras...................................................................................................... 283
    Sobre los autores........................................................................................................... 289

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